Lecture 03: Transformation
二维变换
缩放变换
用矩阵表示，矩阵就叫缩放矩阵
对称变换一下：
复杂一点的：
这里的 x 的变换 和 y 是有关系的 x’ = x + ay
旋转变换
推导：
推关系（x’ 和 x）（y’ 和 y）：（利用特殊点（1，0））
从上图可以得到：
A = cosθ
C = sinθ
同理，用特殊点（0，1）算出B D
B = -sinθ
D = cosθ
所以可以得到旋转矩阵 Rθ；
记忆：
记图，然后自己推到一下就行！
性质：
旋转矩阵的转置 <=> 旋转矩阵的逆
如果一个 矩阵转置 = 矩阵的逆，则这个矩阵叫做正交矩阵
小结
线性变换：输入坐标 * 矩阵 = 输出坐标
上面的例子统称为线性变换
齐次坐标（统一变换）
为什么？
当我们平移图像的时候，可以发现我们无法用之前的简单的矩阵x向量的形式表示，而是得用下面的表示方法：
所以，平移不属于线性变换；
但是我们不想要它特殊，所以引入了齐次坐标，用于表示各种变换！
怎么做？
首先，用三个数来表示一个二维向量；
相当于就是把二维变成三维，然后用特殊的数字去表示三维！
- 点：第三维是 1
- 向量：第三维是 0
这样就能通过齐次坐标的方式，把所有的变换都表示成 矩阵 x 向量 的形式；
为什么向量第三维是 0 ？
这么做是为了保证向量的平移不变性；
同时保证了在一些运算下仍然是正确的；
在齐次坐标下：point1 + point2 = point 1 2 的中点
(x1,y1,w)转置 + (x2,y2,w)转置
=> ( (x1+x2) , (y1+y2) , 2w )转置
=> ( (x1+x2)/2w , (y1+y2)/2w , 1)
小结
仿射变换：
齐次变换：
注意到，在表示二维坐标的仿射变换中，齐次变换矩阵的最后一行都是（0，0，1）；
注意是有条件的，二维坐标，仿射变换.
验证：（缩放，旋转，平移）
逆变换
要变换回来，则乘以变换矩阵的逆矩阵
变换组合
首先规定，这里默认的旋转是 以0,0为中心，逆时针 旋转的；
变换的顺序很重要；
变换组合 其实本质上就是对应着 矩阵的乘法！！！
当矩阵乘法的顺序不同，得到的变换结果也是不同的。
举个例子：
在这个变换中，我们需要先旋转45度，再平移；
那么对应的数学结果就是：
总结：
我们按照变换的顺序，在原向量的基础上，往原向量的左边，从右往左依次乘上变换矩阵
值得注意的是：矩阵乘法有结合律！
变换的分解
三维变换
同理，在三维变换中，也有平移这样的非线性变换操作；
所以继续引入齐次坐标；
用四个数去表示三维空间；
三维变成四维，第四维度取特殊值；
- 描述点，最后一维为1；
- 描述向量，最后一维为0；
当 w != 0 时，齐次坐标下的点 (x , y, z , w) , 则表示三维空间中的点 (x/w , y/w , z/w)
将 x y z 都 /w 就可以表示成三维空间中的点了！
同样的，在描述三维空间中的反射变换时，变换矩阵的最后一行是（0，0，0，1）；
平移操作还是体现在最后一列；
值得注意的是 :
当我们写出齐次坐标的时候，它表示的其实是：
先线性变换，在进行平移！
具体的变换 :
这里注意一下绕y轴为啥是反的？这个和轴的顺序和右手螺旋定则有关；
补充
任意一个3D的旋转，都可以分解为分别绕x y z轴旋转；
a β γ 称为欧拉角
Rodrigues’ 旋转公式：
就是能把任意一个旋转分解为绕 x y z 的旋转：
n向量：旋转轴（可以理解为一个方向向量，且规定n过原点）
a：旋转角度
推导：
扩展 :
四元数 : 主要用于两个旋转之间的插值