Lecture 04 : Transformation Cont.
概述
View / Camera transformation：视图变换 / 相机变换
Projection transformation：投影变换
图形学：正交/透视投影矩阵的推导（多个思路） - 知乎 (zhihu.com)
上面这一边里面讲的非常清楚了 !
视图变换
试图变换是什么?
三元素 :
- 把场景搭好（model transformation，模型变换）
- 找一个好的角度，把相机放好（view transformation，视图变换）
- 然后拍照（projection transformation，投影变换）
简称 MVP 变换
特别解释 :
- 位置：这个没啥好说的…就是一个坐标
- 凝视方向：也就是向哪里看，这里其实包含了两个方向，我们把头当作摄像机，那么凝视方向就包含了我们头左右看和上下看的元素（不歪头）
- 向上方向：这个不是说向上看的意思…还是把我们的头当作摄像机，当我们确定了头的位置和凝视方向时，当我们歪头时，我们可以发现我们看到的还是不同的，所以我们还需要一个元素来约束；这里引入一个始终垂直于我们头顶的法向量，这个法向量指向的方向就是向上方向，当我们歪头时，这个法向量也不同；
因此，通过上面这3个元素，我们可以唯一确定相机看到的图像！！！
如何进行视图变换?
首先我们将相机定，其他东西都随相机移动；
（固定指的是：相机在0 0 0处，且x向前，y向上，-z向右）
具体操作：（初始相机在e点，看向g，向上是t，g叉乘t对应着x）
- 先平移到 0 0 0
- 将 g 旋转到 -z
- 将 t 旋转到 y
- 最后将 g 叉乘 t 旋转到 x
下面是矩阵表示：
直接求这个变换矩阵的话不太好求，我们可以反过来想：
将（x、y、-z）旋转到（g x t、t、g），得到旋转矩阵，将这个旋转矩阵求逆就是我们结果，注意到上节课的性质，这种变换的矩阵是正交矩阵，即 矩阵的逆<=>矩阵的转置，所以直接求矩阵的转置就行。
投影变换
正交投影
无近大远小效果
假设相机在 0 0 0 处，且看向-z方向，向右是x，向上是y；那么将相机x y范围内的的物体的z方向去掉得到的图像就是正交投影
更加规范的：
- 先将物体的中心移到原点0 0 0
- 将物体进行缩放，缩放到（-1，1）³的立方体中
（这里长方体等物体会变得不一样… 后面会将再一次拉伸 ( 视口变换 )…）
透视投影
**概述 : **
有近大远小效果
回顾一下，前面我们讲了，齐次坐标（用四个数表示三维空间中的 点/向量）
如何进行透视投影？
还是那个问题，正面不好想，我们反着想；
透视投影要做的是将平面变成进平面 ( 挤压 ) ;
也就是如何 透视投影 -> 正交投影，得到变换矩阵之后；求这个变换矩阵的逆，那么这个逆就是 正交投影 -> 透视投影 的结果。
透视投影 -> 正交投影
- 将 透视投影 的梯形体挤压成长方体（近平面不变，远平面挤压，且远平面的z不变，且远平面的中心点的坐标仍然不变）
- 做一遍正交投影
**具体分析 : **
第二步是比较简单的，上面说过了；
下面分析第一步要怎么做？？？
首先我们要明确一下我们的问题，现在的问题是：
如何将在透视投影中的点（x y z）变换为正交投影中的点（x’ y’ z’），也就是求 透视投影 -> 正交投影 的变换矩阵
首先我们可以发现变换时点在z轴上的变换是比较难求的，这里我们先不考虑z轴的情况，后面再求；
我们先看x轴和y轴的情况，可以发现他们形成一个相似三角形，因此 x’ x，y’ y 的关系很容易就知道了！
前面说过，齐次坐标下，每个数都同时乘上同一个数，这个点/向量是不变的，表示的还是那个点；所以我们可以进一步的变换：
接着我们试着反推一下这个变换矩阵：（什么样的矩阵 乘上 透视时的点 会变成 正交时的点？）
可以发现，我们可以得到这个变换矩阵的大部分信息：
由于我们把这个z轴给展示不管了，所以导致这个变换矩阵的第三行是未知的；现在我们需要通过一些性质去把第三行解出来；可以发现在变换前后有这样两个性质：
- 变换前后，近平面上的点是不变的（x y z都不变）；
- 变换前后，远平面上的中心点是不变的（x y z都不变）；
我们先利用第一个性质，假设在近平面上有一个点（x y n 1），那么变换之后还是（x y n 1），变换一下为（nx ny n² n）;
利用上面的残缺矩阵，我们可知：
（？？？？）（x y n 1）转置 = （nx ny n² n）转置
从而我们可以推出第三行：
同时得到一个方程：
接着我们利用第二个性质：远平面上的中心点为（0 0 f 1），变换后还是（0 0 f 1），同理变换一下（0 0 f² f）
同样，我们可以的到一个方程：
也就是说我们有两个未知数A B，有两个方程，这样就能解除A B，从而得到我们的变换矩阵了！
分析结束！！！
注意 :
到这里 , 我们只是求出了 透视投影压缩变换 , 也就是 透视投影 -> 正交投影 ;
所以如果要求透视投影矩阵 , 我们还需要乘上一个 正交投影矩阵 :
具体的话可以再看一下这篇文章的分析 :
图形学：正交/透视投影矩阵的推导（多个思路） - 知乎 (zhihu.com)
**思考 : **
在近平面和远平面之间的点，从透视投影 -> 正交投影的过程中，它们的z轴是向近缩，还是向远拉伸？？？
题解：
离相机更远（更靠近远平面）