Lecture 11：Geometry 2 (Curves and Surfaces)
概述
这节课主要讲了几何中的 曲线 和 曲面；
前面一段是在讲几何的显示表示，放在放一篇文章了；
贝塞尔曲线
概述
用一系列的控制点来定义某一条曲线。这些控制点使用切线来定义贝塞尔曲线。
看上图，注意曲线起始方向沿着P0 P1，结束方向沿着P2 P3；
（不要求曲线经过控制点，但一定要经过起止点 和 极值点（控制点关于时间插值出来的点））
计算贝塞尔曲线——de Casteljau 算法
首先我们把整个曲线映射到 [0，1] 的时间轴上；
曲线上的每个点都是关于时间 t（0，1 之间）的插值的结果；
这也是为什么贝塞尔曲线是显示的表示（做了映射）；
下面看看是如何具体做映射的：
- 给定三个控制点生成的贝塞尔曲线称为二次贝塞尔曲线（quadratic Bezier）。
- 使用线性插值插入一个点（假设起点是时间0，终点是时间1），假设当前这个点对应时间轴的上 t ，按时间轴的比例，标记出一个线段上的插值点 b01;
- 对于每个第一层（原始的）线段都做一下插值，变成：
- 然后继续，同理，对于第二层的线段也同样操作，直至剩下一个点；
- 这样我们只是得到了一个 t 的插值后的点，我们对 [0, 1] 所有的 t 都进行插值，最终就能得到这个曲线；
贝塞尔曲线代数公式
推导：
如果有n+1个控制点（从0开始编号），可以得到n阶的贝塞尔曲线。
Bernstein 多项式：
例如，当 n=3 时，公式为：
贝塞尔曲线的性质
逐段（Piecewise）贝塞尔曲线
概述
由于当控制点太多，曲线难以被控制点控制。
所以逐段定义贝塞尔曲线（一般用四个控制点）。
如果要让不同的分段之间光滑过渡，只需要在切线上连续（方向和大小上）。
分段贝塞尔曲线的连续性
其他类型的曲线
样条 Spline
一个连续的曲线是由一系列控制点控制点，在任意一个地方可以满足一定的连续性。
简单来说就是一个可控的曲线。
B样条 B-Splines
- 贝塞尔曲线的扩展（具有局部性，容易控制），就是基函数（basis）样条。
- 比贝塞尔曲线需要更多的信息。
- 满足贝塞尔曲线的所有性质。
- 难
（贝塞尔）曲面
概述
把贝塞尔曲线的概念延申到平面上。
回顾一下，每段贝塞尔曲线是4个点的线性插值的结果；
所以，每一片贝塞尔曲面是16控制点，两次线性插值的结果：
第一次先 4 组（每组四个）进行一次线性插值，得到四条贝塞尔曲线，然后对于四条曲线，我们再插值一次，得到曲面：
规范的讲：
输入：4*4 控制点
输出：一个在 [0,1] ^2 内的 (u,v) 参数化的二维曲面
反过来讲，给一个 贝塞尔曲面上参数化后的 (u,v)，我们就能知道 (u,v) 对应的是曲面上的哪个点。